Los tres regímenes: subamortiguado, crítico y sobreamortiguado

El factor de amortiguamiento parte el comportamiento del muelle en tres regiones cualitativamente distintas, y la frontera entre ellas no es una convención: es el punto donde el discriminante de la ecuación característica cambia de signo y las raíces pasan de complejas a reales. Lo que sigue es qué hace exactamente cada región, con cifras concretas medidas sobre un mismo muelle al que solo se le cambia ζ, y una sorpresa al final que contradice lo que casi todo el mundo cree sobre el amortiguamiento crítico.

El discriminante decide

Recordando la ecuación característica del oscilador y sus raíces:

r² + 2·ζ·ω₀·r + ω₀² = 0
r = -ζ·ω₀ ± ω₀·√(ζ² - 1)

Todo depende del signo de ζ² - 1.

flowchart TB
a[Discriminante zeta al cuadrado menos uno] --> b{Signo}
b -->|negativo| c[Subamortiguado con zeta menor que uno]
b -->|cero| d[Critico con zeta igual a uno]
b -->|positivo| e[Sobreamortiguado con zeta mayor que uno]
c --> c2[Dos raices complejas conjugadas]
c2 --> c3[Oscila dentro de una envolvente exponencial decreciente]
d --> d2[Una raiz real doble]
d2 --> d3[No oscila y es la frontera exacta del rebote]
e --> e2[Dos raices reales negativas distintas]
e2 --> e3[No oscila y la raiz lenta domina toda la cola]
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style e3 fill:#89b4fa,color:#11111b

Para poner cifras usamos siempre el mismo muelle: rigidez k = 200, masa m = 1. De ahí salen ω₀ = 14,1421 rad/s, una frecuencia natural de 2,2508 Hz, un periodo natural T₀ = 0,4443 s y un amortiguamiento crítico c_c = 2·√(k·m) = 28,2843. El muelle parte de una deformación de 1 y velocidad cero, y lo único que cambiamos entre columnas es ζ.

Todas esas cifras salen de evaluar la solución analítica y buscar el último instante en que la deformación supera el 2% de la inicial. Son reproducibles y no dependen del integrador.

Subamortiguado: oscila y decae

Con ζ < 1 las raíces son -ζ·ω₀ ± i·ω_d, con ω_d = ω₀·√(1 - ζ²). La solución es una sinusoide de frecuencia ω_d metida dentro de una envolvente e^(-ζ·ω₀·t). El objeto pasa de largo, vuelve, pasa de largo menos, y así sucesivamente.

El dato que se puede diseñar es el sobrepaso: cuánto se pasa la primera vez, en fracción de la distancia total. Tiene fórmula cerrada y depende solo de ζ, no de ω₀, no de k, no de m:

sobrepaso = e^( -ζ·π / √(1 - ζ²) )

Con ζ = 0,5 sale 0,163: el objeto se pasa un 16,3% de la distancia recorrida. Con ζ = 0,2, un 52,7%, que es un rebote muy visible. Con ζ = 0,7, un 4,6%, que en una interfaz se percibe como “vivo pero contenido” y es el valor que eligen la mayoría de los sistemas de diseño que documentan su muelle.

Esa independencia de ω₀ es la propiedad más útil de todo el modelo. Puedes decidir el carácter con ζ y la velocidad con ω₀, y los dos ajustes no se estorban. Un muelle rápido con ζ = 0,7 y uno lento con ζ = 0,7 tienen exactamente el mismo perfil, solo que uno tarda el triple. Eso es lo que permite tener una escala de duraciones en un sistema de diseño sin que cada duración necesite su propio ajuste de rebote.

El otro dato es el periodo amortiguado T_d = 2π/ω_d, siempre mayor que el natural. Con ζ = 0,7 el periodo pasa de 0,444 a 0,622 segundos: amortiguar un 70% del crítico ralentiza la oscilación un 40%. Es el motivo por el que subir el amortiguamiento buscando “que se calme antes” a veces consigue justo lo contrario.

Crítico: la frontera, no el óptimo

Con ζ = 1 hay una raíz real doble en -ω₀ y la solución es (A + B·t)·e^(-ω₀·t). El factor lineal t es lo que evita que la solución sea una simple exponencial, y es la firma matemática de la raíz doble.

El amortiguamiento crítico se define como el valor más pequeño de c para el que no hay oscilación. Ni un poco menos: con ζ = 0,999 el sistema oscila, aunque el sobrepaso sea de una diezmilésima y no lo vea nadie. Esa es toda su definición, y de ahí salen dos mitos.

El primer mito es que el crítico “no se pasa nunca”. Es cierto solo si la velocidad inicial es cero o apunta hacia el objetivo. Con velocidad inicial suficientemente grande en contra, un sistema críticamente amortiguado sí se pasa, una vez y sin oscilar. Se ve en la solución: (A + B·t)·e^(-ω₀·t) cambia de signo si A y B tienen signos opuestos, lo cual ocurre en cuanto v₀ < -ω₀·u₀. Y ese caso no es raro: es exactamente lo que pasa al interrumpir un muelle en movimiento.

El segundo mito es que el crítico es el que llega antes. Mira la tabla anterior: ζ = 0,7 se asienta al 2% en 0,423 segundos y ζ = 1 en 0,412. Están casi empatados, y el mínimo real no está en ninguno de los dos. Barriendo ζ en pasos de cinco milésimas:

El mínimo está en ζ = 0,78, y es un mínimo pronunciado y con un escalón: 0,255 segundos frente a 0,412 del crítico, un 38% más rápido, y frente a 0,378 con ζ = 0,775, apenas cinco milésimas por debajo. La razón del escalón es geométrica. Por debajo de 0,78 el sistema entra pronto en la banda del 2% pero el siguiente rebote la vuelve a sacar, y el reloj del asentamiento se reinicia hasta el rebote siguiente. Por encima de 0,78 no hay rebote que se salga, pero la exponencial dominante es cada vez más lenta. Justo en 0,78 el primer rebote se queda por los pelos dentro de la banda y el asentamiento ocurre en la primera pasada; medio punto porcentual menos de amortiguamiento y el sistema tarda casi el doble. Es el mismo resultado clásico de la teoría de control, donde el óptimo del criterio del 2% se sitúa cerca de ζ = 0,78.

Sobreamortiguado: dos exponenciales y una cola

Con ζ > 1 las dos raíces son reales y negativas, r₁ = -ζ·ω₀ + ω₀·√(ζ² - 1) y r₂ = -ζ·ω₀ - ω₀·√(ζ² - 1). La solución es la suma de dos exponenciales decrecientes con constantes de tiempo muy distintas.

Aquí está la clave para entender por qué un muelle muy amortiguado se siente pesado y lento: r₂ se hace cada vez más negativa —decae cada vez más rápido, se apaga enseguida— mientras que r₁ se acerca a cero. Con ζ = 2 y ω₀ = 14,14, las raíces son -3,789 y -52,78. La segunda es catorce veces más rápida y desaparece en los primeros 60 milisegundos; toda la cola de la animación la gobierna la primera, con una constante de tiempo de 264 ms. Subir ζ de 1 a 2 no ha hecho el sistema más rígido: lo ha hecho casi de primer orden, con la lentitud de una exponencial simple.

Ese es el diagnóstico de la animación que “empieza bien y luego se arrastra”: un régimen sobreamortiguado cuya raíz lenta domina el final. La solución no es subir la rigidez —eso acelera las dos raíces pero mantiene la proporción— sino bajar ζ hacia la zona de 0,8 a 1.